波在传播过程中遇到障碍物时会绕过障碍物继续传播，在经典物理学中称为波的衍射，光在传播过程表现出波的衍射性，光还表现出干涉和偏振现象，表明光有波动性；光电效应揭示光与物质相互作用时表现出粒子性，其能量有一个不能连续分割的最小单元，即普朗克1900年首先作为一个基本假设提出来的普朗克关系
E为光子的能量，v为光的频率，h为普朗克常数，光具有波粒二象性。电子在与电磁场相互作用时表现为粒子性，在另一些相互作用过程中是否会表现出波动性？德布罗意从光的波粒二象性得到启发，在1923－1924年间提出电子具有波粒二象性的假设，
E为电子的能量，为电子的动量，为平面波的圆频率，为平面波的波矢量，为约化普朗克常数；波矢量的大小与波长λ的关系为，称为德布罗意关系。电子具有波粒二象性的假设，拉开了量子力学革命的序幕。
电子具有波动性假设的实验验证是电子的晶体衍射实验。电子被电场加速后，电子的动能等于电子的电荷乘加速电压，即考虑到高速运动的相对论效应，电子的动量由德布罗意关系得真空中的光速 ，电子的静止质量 ，普朗克常数 ，当电子所受的加速电压为V伏特，则电子的动能 ，电子的德布罗意波长，（1）
加速电压为100伏特，电子的德布罗意波长为 。要观测到电子波通过光栅的衍射花样，光栅的光栅常数要做到 的数量级，这是不可能的。晶体中的原子规则排列起来构成晶格，晶格间距在 的数量级，要观测电子波的衍射，可用晶体的晶格作为光栅。1927年戴维孙_革末用单晶体做实验，汤姆逊用多晶体做实验，均发现了电子在晶体上的衍射，实验验证了电子具有波动性的假设。
普朗克因为发现了能量子获得1918年诺贝尔物理学奖；德布罗意提出电子具有波粒二象性的假设。导致薛定谔波动方程的建立，而获得1929年诺贝尔物理学奖；戴维孙和汤姆逊因发现了电子在晶体上的衍射获得1937年诺贝尔物理学奖。
由于电子具有波粒二象性，其德布意波长可在原子尺寸的数量级以下，而且电子束可以用电场或磁场来聚焦，用电子束和电子透镜取代光束和光学透镜，发展起分辨本领比光学显微镜高得多的电子显微镜。 晶体对电子的衍射原理与晶体对x射线的衍射原理相同，都遵从劳厄方程，即衍射波相干条件为出射波矢时 与入射波矢量 之差等于晶体倒易矢量 的整数倍
设倒易空间的基矢为 ，倒易矢量
在晶体中原子规则排成一层一层的平面，称之为晶面，晶格倒易矢量的方向为晶面的法线方向，大小为晶面间距 的倒数的 倍
为晶面指数（又称密勒指数），它们是晶面与晶格平移基矢量的晶格坐标轴截距的约化整数，晶面指数表示晶面的取向，用来对晶面进行分类，标定衍射花样。
晶格对电子波散射有弹性的，弹性散射波在空间相遇发生干涉形成衍射花样，非弹性散射波则形成衍射花样的背景衬度。入射波与晶格弹性散射，入射波矢量与出射波矢量大小相等，以波矢量大小为半径，作一个球面，从球心向球面与倒易点阵的交点的射线为波的衍射线，这个球面称为反射球（也称厄瓦尔德球），见图1所示，图中的格点为晶格的倒易点阵（倒易空间点阵）。
晶格的电子衍射几何以及电子衍射与晶体结构的关系由布拉格定律描述，两层晶面上的原子反射的波相干加强的条件为
为衍射角的一半，称为半衍射角。见图2所示，图中的格点为晶格点阵（正空间点阵）。o为衍射级，由于晶格对波的漫反射引起消光作用， 的衍射一般都观测不到。 晶面间距 不能连续变化，只能取某些离散值，例如，对于立方晶系的晶体，
a为晶格常数（晶格平移基矢量的长度），是包含晶体全部对称性的、体积最小的晶体单元——单胞的一个棱边的长度，图3为立方晶系的三个布拉菲单胞。立方晶系单胞是立方体，沿hkl三个方向的棱边长度相等，hkl三个晶面指数只能取整数；对于正方晶系的晶体
h,k,l三个方向相互垂直。h,k两个方向的棱边长度相等。三个晶面指数h,k,l只能取整数， 只能取某些离散值，按照布拉格定律，只能在某些方向接收到衍射线。做单晶衍射时，在衍射屏或感光胶片上只能看到点状分布的衍射花样，见图4；做多晶衍射时，由于各个晶粒均匀地随机取向，各晶粒中具有相同晶面指数的晶面的倒易矢在倒易空间各处均匀分布形成倒易球面，倒易球面与反射球面相交为圆环，衍射线为反射球的球心到圆环的射线，射线到衍射屏或感光胶片上的投影呈环状衍射花样，见图5。
衍射花样的分布规律由晶体的结构决定，并不是所有满足布拉格定律的晶面都会有衍射线产生，这种现象称为系统消光。若一个单胞中有n个原子，以单胞上一个顶点为坐标原点，单胞上第j个原子的位置矢量为 ， 为晶格点阵的平移基矢量，第j个原子的散射波的振幅为 为第j个原子的散射因子，根据劳厄方程，一个单胞中n个原子相干散射的复合波振幅 。
根据正空间和倒易空间的矢量运算规则， 。复合波振幅可写为 ，上式中的求和与单胞中原子的坐标有关，单胞中n个原子相干散射的复合波振幅受晶体的结构影响，令 。则单胞的衍射强度 ， 称为结构因子。
对于底心点阵，单胞中只有一个原子，其坐标为[0，0，0]，原子散射因子为 ，
任意晶面指数的晶面都能产生衍射。
对于底心点阵，单胞中有两个原子，其坐标为[0，0，0]和[1/2，1/2，0]，若两个原子为同类原子，原子散射因子为 ，
只有当h,k同为偶数或同为奇数时，才不为0，h,k一个为偶数另为奇数时，为0，出现系统消光。
对于面心点阵，单胞中有4个原子，其坐标为[0，0，0]和[1/2，0，1/2]，[0，1/2，1/2]，若4个原子为同类原子，原子散射因子为 ， 只有（h+k+l）为偶数时， 不为0，能产生衍射。
对于面心点阵，单胞中有4个原子，其坐标为[0，0，0]和[1/2，0，1/2]，[0，1/2，1/2]，若4个原子为同类原子，原子散射因子为 ， 只有当h,k,l同为偶数可同为奇数时， 才不为0，能产生衍射。
对于单胞中原子数目较多的晶体以及由异类原子所组成的晶体，还要引入附加系统消光条件。 根据系统消光条件，可以确定衍射花样的对应晶面的密勒指数hkl，这一步骤称为衍射花样的指数化。对衍射花样指数化，可确定晶体结构，若已知电子波的波长，则可计算晶格常数，若已知晶格常数（由x射线衍射测定），则可计算电子波的波长，验证德布罗意关系。以简单格子立方晶系的多晶衍射花样为例，介绍环状衍射花样的指数化。
对于电子衍射，电子波的波长很短， 角一般只有1°~ 2°，设衍射环的半径为R，晶体到衍射屏或感光胶片的距离为L，由图6所示的几何关系可知 ，则布拉格定律为，（2）式中 称为仪器常数。 ，电子衍射花样就是晶格倒易矢放大 倍的象。将立方晶系的晶面间距 代入布拉定律得 。晶面指数h,k,l只能取整数，令 ，则各衍射环半径平方的顺序比为 ，按照系统消光规律，对于简单立方、体心立方和面心立方晶格，半径最小的衍射环对应的密勒指数分别为100、110、111，这三个密勒指数对应的晶面分别是简单立方、体心立方和面心立方晶格中晶面间距最小的晶面。这三个晶格的衍射环半径排列顺序和对应的密勒指数见表1，将衍射环半径的平方比表1对照，一般可确定衍射环的密勒指数。衍射花样的指数化后，对已知晶格常数的晶体，仪器常数，(3)若已知仪器常数，则可计算晶格常数（4）
表1：简单格子立方晶系衍射环的密勒指数
衍射环序号 简单立方 体心立方 面心立方
m m m
1 100 1 1 110 2 1 111 3 1
2 110 2 2 200 4 2 200 4 1.33
3 111 3 3 211 6 3 220 8 2.66
4 200 4 4 220 8 4 311 11 3.67
5 210 5 5 310 10 5 222 12 4
6 211 6 6 222 12 6 400 16 5.33
7 220 8 8 321 14 7 331 19 6.33
8 300.221 9 9 400 16 8 420 20 6.67
9 310 10 10 411.300 18 9 422 24 8
10 311 11 11 420 20 10 333.511 27 9
首页
