由麦克斯韦方程及上述关系式,可得
(3)
(4)
把(1)式代入(4)式,得
(5)
式中
对比(3),(5)两式,得
即
(6)
这是无源空间的齐次Helmholtz方程,说明Az(或说矢量A)是波方程的解。令
式中函数ψ表示场振幅在等相面上的分布;代入(5)式,得
式中左边第一项与z无关,可令
式中h与(x,y,z)及ψ无关。由于ψ是实数,故h也是实数。又因F(z)与(x,y)无关,故可取
(7)
将(7)式带入(3)式后,得
(8)
将(8)式与(4)式联立,得
(9)
对比均匀传输线理论中的公式:
可取
(10)
作为横磁波传输分布等效电路的串联阻抗,现在可用图2来描写TM波的波动过程,并由(2)式和(10)式来决定元件的值:
(11)
图2、规则柱波导的TM波等效电路
当然,参照滤波器理论还可求传播常数、特性阻抗和截止频率的表达式。
谢昆诺夫的上述处理不仅在理论上优美、自洽,而且在工程计算上很方便。例如,对于圆波导和TM01模,有
(12)
式中k01为Bessel函数J0(x)=0的第一根,a为波导内半径。
三
波导实验成功后最初几年,人们吃不准该怎样看待它。问题是能否把它看成传输线?能否计算它的阻抗和反射?正是谢昆诺夫及时解决了这些问题。1937年,他首先提出了波导的波阻抗的定义。1944年,他又提出了特性阻抗的定义。他的分析主要针对矩形波导(图3)。
图3、矩形波导