COMSOL中高频电磁场的多尺度模拟导论（一）

本篇文章将开启一个全新的综合性博客系列，探讨高频电磁场的多尺度模拟方法。在首篇文章中，我们将介绍必要的支撑理论和定义。后续的文章将探讨如何使用COMSOL Multiphysics® 软件在不同场景下对高频电磁场进行多尺度模拟。让我们开始吧！

应用范围：天线和无线通信

多尺度模拟是现代仿真技术的一个挑战性课题，它指的是当一个模型具有截然不同的尺度时产生的问题。举例来说，你的手机大约长15 cm，但是它需要从20,000 km 外的卫星接收GPS 信息，在一个仿真中同时处理这两个长度往往并不简单。天气、化学以及许多其他领域的仿真应用也会遇到类似的问题。

虽然多尺度模拟是一个泛泛的话题，不过我们选择将重点放在天线和无线通信的实例上。当通过天线进行无线数据传输时，传输过程可以分为三个主要阶段：

1、天线将本地信号转换为自由空间辐射。
2、辐射向远离天线的方向传播，经过一段相对较长的距离。
3、另一个天线检测到辐射，并将其转换成接收信号。

现代通信通过天线进行远距离无线数据传输。

数据传输过程中的两个长度尺度是辐射波长和天线间的距离。我们想象一个具体的场景：FM 收音机的波长约为3 m，当你坐在汽车中收听广播时，通常距离无线电塔十公里以上。许多天线（例如偶极天线）的尺寸与波长相近，因此不必将天线尺寸看作一个不同的长度尺度。综上所述，涉及的尺度包括：发射天线的长度尺度，信号从源传送到目的地的另一种长度尺度，然后又是接收天线的原始长度尺度。

在同一个高频电磁模型中处理多个尺度之前，我们先重温一些最核心的方程式、术语和注意事项。

弗里斯传输方程

弗里斯（Friis）传输方程计算的是两个由无损耗介质隔开的天线间的视距通信的接收功率，公式为

其中，下标r 和t 区分了发射天线和接收天线，G 是天线增益，P 是功率，Γ 是天线与传输线之间阻抗失配的反射系数，p 是极化失配因子，λ 是波长，r 是天线之间的距离，它与所谓的自由空间路径损耗相关联， θ 和 Φ 是两个天线的角球坐标。

请注意，我们明确地引入了两个阻抗失配项，因此：

· P_t 指发射天线提供给传输线的功率
· P_r 指接收天线从传输线接收的功率

许多文本注明了弗里斯传输方程的推导过程，所以我们在这里略过。

发射天线和接收天线增益的可视化图像。在使用弗里斯传输方程时，我们必须了解天线的方向，才能获得正确的增益参数。天线之间的距离为r。

球面坐标

下面，我们来讨论球面坐标(r，θ，Φ)，原因是球面坐标极其适用于研究天线辐射，而且我们会在下文中反复使用它们。从笛卡尔坐标（x，y，z）出发，我们可以利用很方便地得到以下表达式。

为了方便起见，我们使用了真实的COMSOL Multiphysics 命令——sqrt()、acos() 和atan2()，而不是它们的数学符号。在创建仿真时，我们还将利用球面单位矢量的笛卡尔分量。

和的笛卡尔分量也能实现类似的任务，但对于我们来说是最重要的。在介绍射线光学的后续博客中，我们将探讨这一问题。